¿Qué quiere decir que una proposición implica otra proposición? ¿Cómo puede garantizarse que afirmar algo sobre una cosa implica afirmar lo mismo respecto a otra? Veamos un aspecto importante de la lógica formal, la implicación, y si le cabe algún papel cuando razonamos y exponemos argumentos en la vida corriente.
EL OBJETO DE LA LÓGICA
Las oraciones o afirmaciones del lenguaje corriente, con las cuales un predicado dice algo de un sujeto, en lógica se simplifican con letras mayúsculas, A, B, C, etc., o minúsculas p, q, r, y son llamadas proposiciones. Los lazos que pueden relacionar unas con otras es el objeto de estudio de la lógica proposicional: implicación, conjunción, disyunción y negación. Interesa a esta lógica, como a toda la lógica formal, establecer los valores de verdad o falsedad que se derivan de las posibles relaciones entre ellas, y lo hace mediante el cálculo lógico a través de una serie de pasos que, partiendo de un valor de verdad inicial, deriva otros hasta llegar a una conclusión, serie que se llama inferencia.
La lógica no se interesa en demostrar si una proposición o combinación de proposiciones es falsa o verdadera en la realidad, sino en el plano en que se expresa la realidad, es decir, en el del lenguaje. Pero no lo hace como la gramática o la lingüística sino valiéndose de un sistema de signos y reglas en el que, a partir de una proposición o combinación de proposiciones, puede derivarse otra proposición u otra combinación con un valor de verdad o falsedad determinado. En el plano del lenguaje corriente, por ejemplo, puede ser verdad que de “salió el sol” se derive la verdad de “es de día”, pues es una verdad comprobable sensiblemente y hasta intuible. Si la oración “salió el sol” es verdadera en la realidad, si verdaderamente salió el sol, entonces se pueden derivar de ella otras oraciones de tal modo que queden relacionadas entre sí, por ejemplo, “es de día”.
Para la lógica proposicional la verdad no depende de los sentidos ni de la intuición sino de cómo una proposición se deriva de otra o de otras a través de la inferencia, serie de pasos que se deducen unos de otros mediante el cálculo lógico. Una proposición, llámese A o B o C, es la formalización de cualquier expresión del lenguaje corriente, sin importar su significado, y se combinará con otra mediante nexos o juntores llamados “implicador”, “conjuntor”, “disyuntor” y “negador”, La lógica cuantificacional o de predicados es otra rama de la lógica formal que se ocupa de establecer los valores de verdad para todas o para al menos una de las proposiciones comprendidas en un cálculo. Aquí nos ocuparemos de la implicación en la lógica proposicional o lógica de juntores.
La verdad para la lógica es lo que se puede deducir o derivar de una proposición dada por verdadera; su objeto es establecer cómo llega a ser verdadera al relacionarse con otra o con otras. Si A es verdadera y A implica B, entonces B es verdadera y se escribe A → B. Se trata de una regla del cálculo proposicional. Pero si A es falsa, la implicación es falsa y B también es falsa, lo que supone otra regla del mismo cálculo.
UTILIDAD DE LA IMPLICACIÓN
Se ha dicho que la implicación es “la clave de bóveda de la lógica deductiva”, por lo que es interesante ver cómo funciona en el cálculo y, en particular, en la realidad en la que pensamos y nos comunicamos en cualquier clase de diálogo, intercambio de ideas, explicaciones, discusiones o debates. En primer lugar, es de aclarar que en el pensamiento corriente no se cumple a rajatabla con las reglas de la implicación. Cuando pensamos no nos atenemos a la lógica en sus formas de relacionar proposiciones. Sin embargo, si se trata de defender una idea o de pensar de manera seria y rigurosa, con chance de concluir algo en que podamos confiar, para saber a qué atenernos o para comunicar o convencer, en cierto grado nos aproximaremos al menos en parte a las reglas de la lógica.
Si A es una proposición no derivada de ninguna observación empírica, de ninguna percepción sensible, las reglas de la implicación se vuelven muy necesarias. Nos ayudan a evitar razonamientos incompletos o parcialmente verdaderos, porque no hay experiencia que pueda venir a ayudarnos, nada que puedan hacer los sentidos de la vista, el tacto, el oído. Nos veremos obligados a demostrar mediante el razonamiento la verdad de nuestras conclusiones. Por lo tanto, y aunque no tengamos conciencia de qué es lo que estamos haciendo mentalmente, habremos de caer en una implicación, introduciéndola o eliminándola, para concluir una proposición verdadera por su sola forma lógica.
El curso de cualquier clase de razonamiento no puede prescindir de estas mínimas exigencias cuando se dialoga o cuando se intercambian ideas, creencias, supuestos, convicciones, especialmente cuando se discute. Aplicamos esas reglas elementales, aunque en los hechos lo hagamos solo aproximándonos a ellas o de manera intuitiva y a veces subrepticia. Evitamos los más crasos errores y la falsedad de nuestras convicciones, porque queda al descubierto la ingenuidad lógica que puede gobernarnos. Se trata de atender cómo procedemos, cómo asociamos nuestras ideas para luego derivar de ellas algo concluyente. Por ejemplo, si deducimos B de A y A es falso, no tendremos salida exitosa. Si es falso que A implica B y concluimos B, no tendremos salida y caeremos en el error. Si defendemos una idea derivada de otra falsa, nuestra defensa fracasará. Se puede atribuir a la lógica el éxito o el fracaso para llegar a una conclusión verdadera, por lo que depende de la inferencia, de todo aquello que cumpla o no cumpla con las reglas del cálculo lógico en el solo plano conectivo, sintáctico, exclusivamente formal, sin interesar los contenidos o las realidades.
CÓMO SE ESCONDE UNA IMPLICACIÓN
La verdad física o empírica de A → B, por ejemplo, que sea verdad que “salió el sol” y que por tanto “es de día”, exige comprobar en los hechos que A es verdadera y también que B es verdadera. Para concluir que en la realidad la implicación es verdadera es necesario comprobarlo físicamente en cada uno de sus términos. En cambio, para establecer la verdad lógica de A → B basta con tener en cuenta que A es verdadera, porque para la lógica no es posible derivar una verdad de una falsedad. Esta propiedad lógica es sumamente importante.
Los significados de las palabras y oraciones pueden guardar una relación estrecha con la verdad. Es de suponer en la vida real que si es de día es porque salió el sol, pero de una suposición no se puede derivar una verdad o una falsedad lógica. Derivar la verdad de B de la verdad de A no es para la lógica una comprobación empírica ni una suposición cualquiera, sino el resultado de una inferencia formal, es decir, de un cálculo lógico. En la vida corriente las expresiones sobre la realidad se pierden un poco en el plano del lenguaje, algo de su vínculo con la realidad, de manera que la información sobre la verdad o la falsedad física (si un hecho es real o no), expresada en el lenguaje corriente, en su sistema de relacionamiento gramatical, empieza a debilitarse. Hasta que deja de corresponderse con esa realidad que quiere describir o en la que se inspira para emitir juicios de valor y opiniones.
Esa dificultad quiere evitar la lógica, una ciencia no de la realidad que puede vivirse o experimentarse, hecha de teorías sobre la realidad, como la física. Solo propone una forma de estudiar las expresiones sobre la realidad, una metaciencia que estudia la forma en que se relacionan los enunciados que describen, sirven al razonamiento o a la especulación, incluso se expiden subjetivamente acerca de la realidad, la naturaleza inanimada, la vida en general y la vida humana en particular. Existen dos clases de ciencias que no hablan de las cosas ni de los seres en cuanto entidades reales: la lógica y la matemática, a las que se podría agregar la computación y la inteligencia artificial que se sirven de las dos primeras.
La lógica estudia la verdad y la falsedad, y los grados intermedios entre la verdad y la falsedad, de las proposiciones, fuesen de la ciencia o del lenguaje corriente. La matemática no estudia, como la lógica, la verdad o la falsedad que pueda derivarse del relacionamiento entre proposiciones. Estudia cantidades que se derivan de otras cantidades, en forma numérica o en forma algebraica, cualesquiera sean en la realidad física. No importa a qué se refieren por sus cualidades sino por cuántas son o por cómo se suman, restan, dividen, multiplican y un largo etcétera. La lógica y la matemática se apoyan en ciertos fundamentos básicos o evidencias, principios que rigen el cálculo y que no requieren demostración. Se llaman axiomas, por lo que son ciencias axiomáticas, término que proviene del griego axios, es decir, lo que “parece digno, justo”, “lo que parece digno de ser estimado, creído o valorado”; Aristóteles lo define como “lo que se impone inmediatamente al espíritu y que es indispensable”.
El axioma, pues, se funda en lo que parece, en lo que por su utilidad para el cálculo es admitido y aceptado por todos como verdad que no necesita demostración. Se puede decir que los axiomas son proposiciones verdaderas que no se derivan de ninguna otra, una especie de dogmas de la ciencia. Se diferencian de los postulados porque estos deben someterse a prueba para ser considerados válidos. El carácter intuitivo e indiscutible de los axiomas, por ejemplo, del supuesto según el cual existe el vacío absoluto, es algo que hoy día ya no cuenta. El carácter axiomático lo da la formalización, por lo que las ciencias axiomáticas son las ciencias que responden a la posibilidad de formalizar sus enunciados, como la lógica. Lo axiomático se concibe en la metalógica actual como lo simplemente hipotético.
Por cierto, en el trato corriente entre las personas, entre hablantes o interlocutores, se filtran ciertos dogmas que, si bien no fungen como formalización alguna, se caracterizan por servir de sustento a muchas expresiones, argumentos e incluso teorías sobre diversos temas y problemas. Sin que se tenga plena conciencia de ello, en la realidad se forma una red fantasma de hipótesis sin demostrar y que nadie pide que se demuestren mediante cálculo alguno. Esa red se infiltra subliminalmente en el pensamiento.
NACIMIENTO Y MUERTE DE UN AXIOMA
Los sentidos nos informan que algo ofrece resistencia al ser tocado, presionado o golpeado, y que por tanto estamos en presencia de un sólido. De este hecho nace la idea de cuerpo, es decir, algo que reviste la cualidad de la extensión y, con esa cualidad, la de límite, resistencia, masa, movimiento. La implicación “si hay resistencia al tacto, entonces hay cuerpo” se vuelve ejemplar, porque se convierte en un principio que solo se demuestra tocando algo y comprobando si ofrece o no ofrece resistencia. Así se concluye que una piedra ofrece resistencia y que, por tanto, es un cuerpo. No parece que el aire ofrezca la misma resistencia, por lo que “deducimos” que no es un cuerpo. Estamos favoreciendo el nacimiento de una especie de axioma o verdad que no es posible demostrar, pero que sirve para explicar algo, aunque lo haga de manera errónea.
Si hay resistencia, hay cuerpo; si no la hay, no hay cuerpo. Surge la diferencia entre cuerpos y ausencia de cuerpos, o sea, la idea de vacío. El cuerpo tiene que estar en algún lugar, y este lugar tiene que estar vacío para que pueda ser ocupado por un cuerpo. Así, surge la idea de espacio vacío, otra especie de axioma. No es necesario seguir con esta narración, porque hoy se sabe que no hay tal espacio vacío, que donde se quiera buscar se encontrará alguna manifestación de la energía, siquiera una partícula subatómica, un fotón, una emisión cósmica, es decir, algo que impedirá concebir el vacío absoluto.
Resultará que, aunque no parezca oponer resistencia al tacto, el aire es un cuerpo, como lo es la piedra. Y que todo cuerpo ocupe un lugar en el espacio deja de ser o de parecerse a un axioma cuando se descubre que los cuerpos son concentraciones de energía, y que la resistencia es un fenómeno relativo al tacto humano, una relación escalar proporcional a los sentidos del cuerpo. La ciencia disuelve estos axiomas, y puede disolverlos incluso a partir del cálculo matemático, para luego confirmar el hecho mediante experimentos. Los axiomas o conjeturas mentales son frecuentes cuando se reflexiona sobre cualquier asunto cotidiano, fuera del campo de la ciencia.
Por ejemplo, se considera que una idea es propia de la mente y que un acto o hecho es propio del cuerpo. No hay como evitar esa distinción, no se puede comprobar que sea falsa, por lo que parece un axioma, una verdad aceptada sin previa demostración. No es posible probar que constituyan una misma naturaleza ni que se puedan fundir en un mismo concepto. Es un axioma que distingue entre lo incorpóreo y lo corpóreo, entre lo que es idea y lo que es materia, mente y cerebro y, entre las distinciones más importantes e influyentes de estas dualidades, las de cuerpo y alma, con sus famosas derivaciones: ser y no ser, el ser y la nada, el ser y el tiempo, la realidad y la apariencia, la objetividad y la subjetividad.
LA INFERENCIA BAJO LA LUPA
Es importante advertir cómo se implican unas concepciones con otras, cómo se despliega un continuo interminable entre concepciones determinadas y sus respectivas fórmulas expresadas en proposiciones admitidas por todos, teniéndose que aceptar como verdades sin discusión o posible revisión. Hasta que un descubrimiento, un vuelco en las creencias, deshace el axioma y lo convierte en una hipótesis, es decir en una posible verdad, necesitada luego de demostración experimental. Por lo que es posible que la distinción entre cuerpo y alma un día se transforme, deje de ser distinción, se unifique y pase de una especie de axioma a teoría, y de teoría a una sola verdad real y física o neurobiológica. Que lo que se manejaba en el nivel de una lógica apoyada en muletas, axiomas o supuestos improvisados, pase a manejarse en el nivel de las ciencias experimentales.
La lógica ofrece una herramienta que se puede usar con confianza en el plano más inestable de la actividad humana: el plano de lo racionalmente esperable. Su función fundamental consiste en trazar un camino posible para dar con lo que se desea o se busca ateniéndose a un orden dado, y en el universo más gaseoso o líquido del conocimiento, el de las solas expectativas, el de establecer una verdad o una falsedad sin apoyo ninguno que pueda ofrecer algún hecho, cosa, percepción sensible, dato incontrovertible de la realidad, observación, experimento. Estas expectativas caracterizan el pensamiento racional y conducen de un estado a otro de la inferencia procurando la seguridad y la certeza de cada paso.
Si bien la lógica nos brinda certezas en cada paso de la inferencia, ¿qué hay entre paso y paso? ¿Qué seguridad hay en dar esos pasos? No solo en aceptarlos por su valor de verdad o falsedad sino, también, en aceptarlos en una serie continua que pueda garantizar lo que pueda deslizarse entre ellos, lo que pueda esconderse como verdad o falsedad entre un paso y otro. Si nos interesamos por esa serie en sus detalles infinitesimales, y no solo en lo que significan cada uno de los pasos, aparecerán interrogantes insospechadas. Porque, si bien la lógica se expide en cuanto al valor de verdad de A o de B o de A → B, no se expide en cuanto a la verdad o falsedad de los grados intermedios de la inferencia.
Para apreciar cabalmente este problema es necesario examinar un ejemplo, y tomaremos la regla de la implicación, pues resulta del mayor interés observar en detalle cómo funciona. Es el caso en que se deduce la proposición B de la proposición A, como hemos visto, aplicando las reglas del cálculo lógico y su consecuente derivación en la inferencia, con lo que se llega a A→B. Pero, ¿cómo se llega? Se dispone una serie o secuencia de supuestos o premisas (del latín “meter”, “enviar por delante”) y, luego, se inicia el cálculo aplicando las reglas respectivas que asegurarán la verdad o la falsedad de la conclusión.
Las premisas se disponen en serie y se vinculan con la conclusión mediante palabras o frases como “luego”, “entonces” o “por tanto”. Hagamos una prueba y tomemos como premisas verdaderas p → q, y q → r. Queremos saber si, a partir de estas premisas se puede concluir la verdad de r (un recurso frecuente en las ciencias sociales, expreso o velado). Las partículas “luego” o “entonces” suelen representarse con el signo ⊢. Los pasos que hemos dado, pues, consisten en la serie: p → q, q → r, p ⊢ r (si p implica q y q implica r, entonces r se deduce de p). Pero, apreciemos claramente estos pasos en su relación uno a uno, enumerándolos de la siguiente manera:
1) p → q
2) q → r
3) p
4) q
5) r
6) p → r (o también: p ⊢ r, esto es, r se deduce de p)
El paso 1 presenta la primera premisa o implicación verdadera. El paso 2 presenta la segunda premisa, implicación verdadera porque q se deriva de p. El paso 3 presenta la proposición que elegimos para iniciar el cálculo o inferencia. El paso 4 presenta la proposición implicada como verdadera en 1. El paso 5 presenta la proposición verdadera en 2. Finalmente, se aplica el teorema de deducción que surge de los pasos 3 a 5 y que introduce el signo de la implicación para concluir p → r, esto es, la conclusión con valor de verdad. Todo se puede simplificar escribiendo: [(p → q) ∧ (q → r)] ⊢ (p → r), donde ∧ es el símbolo de la conjunción (la “y” o unión del lenguaje llano).
QUÉ ESCONDE LA INFERENCIA
La pregunta es, lógicamente hablando, ¿qué esconde el paso de 1 a 2, de 2 a 3, etc.? ¿Qué esconde la regla que permite el paso? La regla que permite el paso de 3 a 4, por ejemplo, es la regla modus ponens y consiste en introducir la implicación (el implicador) entre p y q. Introducir el implicador en este paso es legítimo, puesto que se deriva de la sucesión 1 a 3. La inferencia se lee así: “si p implica q, dado p, entonces q”. La misma regla permite el paso de 4 a 5: si q implica r, dado q, entonces r. El teorema de deducción concluye: p implica r, es decir, p ⊢ r.
Si nos aproximamos más a estos pasos y estados comprobaremos que la lógica no nos dice qué propiedad es capaz de relacionar los grados intermedios entre estos estados, entre una proposición y el juntor que le sigue o le precede. Qué reglas invisibles legitiman cada paso intermedio, infinitesimal, qué axioma o hipótesis permite permanecer en la continuidad de la inferencia sin vulnerar el espíritu de la lógica, el fin último de esta ciencia. La inferencia ¿es una serie continua y analógica, o cuántica y digital? ¿Qué hace posible que en ella todo se acople sin sufrir saltos ni quiebres en vistas de una derivación? ¿Qué propiedad tiene un juntor como el de implicación para convertirse en un deductor? En los argumentos que manejamos a diario se cuela “lo que parece digno de ser estimado, creído o valorado”, como decía Aristóteles, quizá derivaciones falsas, reglas ajenas a toda clase de cálculo, matices sospechosos, grados infinitesimales intermedios que no se pueden probar, conectivas parecidas a las de la lógica aunque poco fiables.
El conocimiento humano es un fenómeno que se ha sometido a todo tipo de hipótesis, mitos, creencias y teorías, e incluso reducido a toda clase de imaginarios sistemas mecánicos, biológicos o cibernéticos, cuando no mágicos, fantásticos o místicos. La forma de activarse y de funcionar, sin embargo, al parecer se rige por una lógica extremadamente sencilla, en la que parecería que operan recursos semejantes a las conectivas de la lógica. Hasta ahora no ha sido posible sistematizarlas, y todos los esfuerzos dedicados al respecto han fracasado. Sin embargo, todo argumento implica otro argumento con valor de verdad o falsedad. Todo contenido deriva en otro, lo implica o niega, y, por lo demás, puede unirse a otro, oponerse, disociarse o excluirse respecto a otro.
Es todo lo que se puede avanzar en el difícil tema de los comportamientos lógicos, especialmente, de aquellos que nos gobiernan cuando actuamos a través del lenguaje, oral o escrito, cuando presentamos una idea que suponemos nueva, cuando defendemos una tesis, cuando deseamos que se entienda algo que solo nosotros pensamos, cuando argumentamos, discutimos o debatimos. Hay un trasfondo que no puede explicar la actividad neural, la cual explica otro orden de asuntos igualmente extraordinarios y quizá más importantes. La dinámica de nuestra voluntad fenomenológica y psíquica es el universo de una clase de comportamientos que solo la trama de la lógica puede ayudar a esclarecer.
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